已知定义在[-1,1]上的偶函数,……

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/16 06:51:40
已知定义在[-1,1]上的偶函数,且当x∈[-1,0]时,f(x)=a/(2^x)-1/(4^x)
,a∈R。

(1)求f(x)在[0,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值。

1、设x∈[0,1];
则-x∈[-1,0];
f(-x)=a/[2^(-x)]-1/[4^(-x)]=a*2^x-4^x;
偶函数
所以f(-x)=f(x);
即f(x)=a*2^x-4^x,x∈[0,1];
2、f(x)=-(2^x)^2+a*2^x;
设2^x=t;
则f(t)=-t^2+a*t,t∈[1,2];
二次函数对称轴=a/2;
自变量取值在1和2之间且函数图像开口向下;
(1)当a/2<1,即a<2时;
f(t)在[1,2]上单调递减,此时最大值为t取1时,f(t)=a-1;
(2)当1<=a/2<2,即2<=a<4时;
f(t)在[1,2]上取到函数最大值,t=a/2时最大,f(t)=a^2/4;
(3)当a/2>=2,即a>=4时,
f(t)在[1,2]上单调递增,此时最大值为t取2时,f(t)=2*a-4;
综合以上三条,可得知f(t)最大为2*a-4,t=2;
即f(x)在[0,1]上最大为2*a-4,此时 x=0